定积分习题总结

type one：对称性的利用

第一个例子：

拆分积分区间
原积分为对称区间 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1 - \sin x} dx$ ，将其拆分为两部分：

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} \frac{1}{1 - \sin x} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1 - \sin x} dx.$

对负区间进行变量替换
对左侧积分 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} \frac{1}{1 - \sin x} dx$ ，令 $x = -t$ （即 $t = -x$ ），则：
• 积分上下限变为： $x = -\frac{\pi}{4} \to t = \frac{\pi}{4}$ ， $x = 0 \to t = 0$ ；
• $dx = -dt$ ；
• $\sin x = \sin(-t) = -\sin t$ ，因此被积函数变为：

$\frac{1}{1 - \sin x} = \frac{1}{1 - (-\sin t)} = \frac{1}{1 + \sin t}.$

替换后，左侧积分转化为：

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \frac{1}{1 + \sin t} (-dt) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1 + \sin t} dt.$

第二个例子：

总结：

关于原点对称的不一定总是用奇相消、偶翻倍，实际上这个也用不成，这个时候就要考虑对称性拆分了
一定要记得使用 $dx = -dt$ ；

type two：奇相消、偶翻倍

这个是最简单的，不多说

type three：不知道什么名字的公式的运用

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$

有两点需要注意的地方：

看到这种全是 $\sin x \cos x$ 的积分形式，不要犹豫，一定是这个公式
替换完之后不要懵，两个式子相等，直接相加，可以全部消掉

type four：比较简单的夹逼准则

这个是逐渐减小的数列，第一项最大，最后一项最小
要想把这个式子夹住
最大的数列，所有项（n个项）都是由第一项组成，也就是 $n \cdot \frac{n}{n^2+1}$
最小的数列，所有项（n个项）都是由最后一个项组成，也就是 $n \cdot \frac{n}{n^2+n}$
这两个数列刚好把题目上的数列夹住

type five：由极限到积分的转化

~~这种类型也比较简单~~
• 宽度： $\frac{1}{n}$ 对应积分中的微分 $dx$ 。
• 函数值： $\frac{1}{1 + \frac{i}{n}}$ 对应函数 $f(x) = \frac{1}{1 + x}$ 在 $x = \frac{i}{n}$ 处的取值。
• 积分区间：当 $i$ 从 $1$ 到 $n$ 时， $x = \frac{i}{n}$ 从 $\frac{1}{n} \approx 0$ 到 $1$ 。因此积分区间是 $[0, 1]$ 。
详细解释传送门

type six：积分里边是复合函数求导

这种情况先换元，换完元之后积分里边就剩一个f(x)，就按常规求导做

这个答案好像错了，但是不影响我说明这个类型

type seven：判断敛散性

根据后边的式子确定p的值

type eight：Wallis 公式的运用

简单记录一下，具体的看传送门

type nine：伽马函数的运用

伽玛函数定义为：

$\Gamma(n) = \int_{0}^{+\infty} t^{n-1} e^{-t} dt \quad (n > 0).$

当 $n$ 是正整数时，满足：

$\Gamma(n) = (n-1)!.$

当 $n$ 是分数时，使用递推公式求结果：
$$
\Gamma(z+1) = z\Gamma(z) 和 \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}
$$
第一道是

$\Gamma(3) = 2! = 2 \times 1 = 2.$

第二道是
$$
\Gamma \left( \frac{5}{2} \right) = \frac{3}{2} \cdot \Gamma \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)
$$