1. sin⁡nx\sin^n x和cos⁡nx\cos^n x在[0,π2][0, \frac{\pi}{2}]上的积分

• nn为偶数时：

∫0π2sin⁡nxdx=∫0π2cos⁡nxdx=(n−1)!!n!!⋅π2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}

例如：

∫0π2sin⁡4xdx=34⋅12⋅π2=3π16\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}

• nn为奇数时：

∫0π2sin⁡nxdx=∫0π2cos⁡nxdx=(n−1)!!n!!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \frac{(n-1)!!}{n!!}

例如：

∫0π2sin⁡3xdx=23⋅1=23\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x dx = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}

2. 扩展到[0,π][0, \pi]和[0,2π][0, 2\pi]的情况

• 从00到π\pi：
利用对称性：

∫0πsin⁡nxdx=2∫0π2sin⁡nxdx\int_{0}^{\pi} \sin^n x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx

∫0πcos⁡nxdx={2⋅∫0π2sin⁡nxdx,n为偶数0,n为奇数\int_{0}^{\pi} \cos^n x dx = \begin{cases} 2 \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx, & n \text{为偶数} \\\\ 0, & n \text{为奇数} \end{cases}

• 从00到2π2\pi：
利用周期性：

∫02πsin⁡nxdx={4⋅∫0π2sin⁡nxdx,n为偶数0,n为奇数\int_{0}^{2\pi} \sin^n x dx = \begin{cases} 4 \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx, & n \text{为偶数} \\\\ 0, & n \text{为奇数} \end{cases}

∫02πcos⁡nxdx={4⋅∫0π2sin⁡nxdx,n为偶数0,n为奇数\int_{0}^{2\pi} \cos^n x dx = \begin{cases} 4 \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx, & n \text{为偶数} \\\\ 0, & n \text{为奇数} \end{cases}