从极限到积分的转化

将求和转化为积分的过程，本质上是通过 “无限细分” 和 “近似替代” 的思想，把离散的求和变成一个连续的积分。以下用通俗的语言和例子解释这一过程：

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一、直观理解：把求和看成“小矩形面积累加”

假设你需要计算从 $1$ 到 $2$ 的曲线 $y = \frac{1}{x}$ 下方的面积，但暂时不会积分。于是你想到一个方法：

1. 把区间分成 $n$ 个小段，每段宽度为 $\frac{1}{n}$（比如 $n=1000$ 时，每段宽 $0.001$）。
2. 每段的高度取右端点处的 $y$ 值，即 $y = \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$（$k$ 从 $1$ 到 $n$）。
3. 面积近似为所有小矩形面积之和：

   $$\text{面积} \approx \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} \cdot \frac{1}{n}.$$

4. 当 $n \to \infty$，分段无限细，这个近似值就变成了精确的积分：

   $$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx.$$

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二、具体到你的例子

题目中的极限是：

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+n} \right).$$

步骤1：将每一项写成“函数值 × 宽度”的形式

• 观察分母：每一项的分母是 $n + k$（$k$ 从 $1$ 到 $n$）。
• 提取因子：将分母写成 $n \left( 1 + \frac{k}{n} \right)$，即：

$$\frac{1}{n + k} = \frac{1}{n \left( 1 + \frac{k}{n} \right)} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}.$$

• 总和变为：

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}.$$

步骤2：识别“积分结构”

• 宽度：$\frac{1}{n}$ 对应积分中的微分 $\Delta x$。
• 函数值：$\frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$ 对应函数 $f(x) = \frac{1}{1 + x}$ 在 $x = \frac{k}{n}$ 处的取值。
• 积分区间：当 $k$ 从 $1$ 到 $n$ 时，$x = \frac{k}{n}$ 从 $\frac{1}{n} \approx 0$ 到 $1$。因此积分区间是 $[0, 1]$。

步骤3：极限转化为积分

当 $n \to \infty$ 时，离散的求和变为连续的积分：

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} dx.$$

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三、积分结果

计算积分：

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} dx = \ln(1 + x) \bigg|_{0}^{1} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2.$$

因此原极限的结果是 $\ln 2$。

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四、总结

1. 核心思想：将离散的求和项视为函数在微小区间上的采样值，通过“无限细分”用积分代替求和。
2. 关键操作：
   • 提取因子 $\frac{1}{n}$ 作为宽度 $\Delta x$；
   • 将分母中的 $k/n$ 视为变量 $x$，确定积分区间；
   • 用积分符号 $\int$ 替换求和符号 $\sum$。
3. 适用场景：当求和的项可以写成 “函数值 × 均匀宽度” 时，均可尝试转化为积分。

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类比记忆：
• 求和：像用一堆小矩形拼出面积，但不够精确；
• 积分：把矩形无限细分，得到完美贴合曲线的面积。