公式太长了，根本记不住，现在只用记一个公式μ(x)=e∫P(x)dx\mu(x) = e^{\int P(x)dx}(积分因子，AI起的名字)

1. 写出标准形式

原方程：

dzdx+6xz=x\frac{dz}{dx} + \frac{6}{x}z = x

符合一阶线性微分方程的标准形式：

z′+P(x)z=Q(x)z' + P(x)z = Q(x)

其中：
• P(x)=6xP(x) = \frac{6}{x}
• Q(x)=xQ(x) = x

2. 计算积分因子

积分因子公式：

μ(x)=e∫P(x)dx=e∫6xdx=e6ln⁡∣x∣=x6\mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{6}{x}dx} = e^{6\ln|x|} = x^6

3. 方程两边乘以积分因子

用 μ(x)=x6\mu(x) = x^6 乘方程两边：

x6dzdx+x6⋅6xz=x⋅x6x^6 \frac{dz}{dx} + x^6 \cdot \frac{6}{x}z = x \cdot x^6

化简左边为导数形式：

ddx(z⋅x6)=x7\frac{d}{dx}\left(z \cdot x^6\right) = x^7

4. 对两边积分

积分两边：

∫ddx(z⋅x6)dx=∫x7dx\int \frac{d}{dx}\left(z \cdot x^6\right) dx = \int x^7 dx

左边直接积分，右边计算：

z⋅x6=x88+Cz \cdot x^6 = \frac{x^8}{8} + C

5. 解出 zz

两边除以 x6x^6：

z=Cx6+x28z = \frac{C}{x^6} + \frac{x^2}{8}

关键步骤图解

步骤 操作 结果
1 原方程 z′+6xz=xz' + \frac{6}{x}z = x
2 积分因子 μ(x)=x6\mu(x) = x^6
3 方程乘积分因子 ddx(zx6)=x7\frac{d}{dx}(z x^6) = x^7
4 积分 zx6=x88+Cz x^6 = \frac{x^8}{8} + C
5 解 zz z=Cx6+x28z = \frac{C}{x^6} + \frac{x^2}{8}

高阶微分方程通解对应项

特征方程的根 微分方程通解中的对应项
​单实根 rr CerxC e^{r x}
​一对单复根 r1,2=a±iβr_{1,2} = a \pm i\beta eax[C1cos⁡(βx)+C2sin⁡(βx)]e^{a x} \left[ C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right]
​k 重实根 rr erx(C1+C2x+⋯+Ckxk−1)e^{r x} \left( C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k-1} \right)
​一对 k 重复根 r1,2=a±iβr_{1,2} = a \pm i\beta
k不重实根r1,r2,rkr_1,r_2,r_k C1er1x+C2er2x+⋯+CkerkxC_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}+ \cdots +C_k e^{r_k x}