反常积分的敛散判断

反常积分收敛性的主要判别方法，分为 无穷积分 和 瑕积分（无界函数积分） 两类
瑕积分有三种判别方式，无穷积分多了两种

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一、无穷积分的收敛性判别法

设 $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 为无穷积分。

1. 比较判别法

• 核心思想：通过与已知收敛/发散的积分比较，判断目标积分收敛性。
• 条件：
  • 若存在 $0 \leq f(x) \leq g(x)$，且 $\int_{a}^{+\infty} g(x) dx$ 收敛，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 收敛。
  • 若存在 $f(x) \geq g(x) \geq 0$，且 $\int_{a}^{+\infty} g(x) dx$ 发散，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 发散。

2. 极限比较判别法

• 条件：若 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L$：
  • 当 $0 < L < +\infty$，两积分同敛散；
  • 当 $L = 0$，若 $\int g(x) dx$ 收敛，则 $\int f(x) dx$ 收敛；
  • 当 $L = +\infty$，若 $\int g(x) dx$ 发散，则 $\int f(x) dx$ 发散。
    具体的解释看瑕积分的极限比较判别法说明
    需要补充一点的是：如果这个无穷积分的下界不是瑕点那就光判断上界；如果下界是瑕点，那就还要判断下界，只有两个同时收敛，这个积分才收敛
    而且无穷积分的构造更简单，只需要乘以一个$x^p$就行

这个和瑕积分的幂函数法刚好相反

• $p > 1 \Rightarrow$ 积分收敛；
• $p \leq 1 \Rightarrow$ 积分发散。
  红线是分界线，p>1的都在红线的下边，大于1往下沉
  

3. Cauchy判别法（幂函数法）

• 条件：当 $x \to +\infty$ 时，$f(x) \sim \frac{1}{x^p}$：
  • $p > 1 \Rightarrow$ 积分收敛；
  • $p \leq 1 \Rightarrow$ 积分发散。

4. Dirichlet判别法

• 条件：若：
  • $g(x)$ 单调趋于零（$\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$）；
  • $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 的积分有界（即 $\left| \int_{a}^{A} f(x) dx \right| \leq M$ 对任意 $A > a$ 成立）。
• 结论：$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x) dx$ 收敛。

Dirichlet判别法的通俗解释
上边的东西真的有神仙能看懂吗？？？反正我是看不懂

1. 处理振荡函数：被积函数中含有 sinx、cosx 等振荡项时，常用此方法。
2. ​搭配衰减函数：通常与 $\frac{1}{x^p}$（p>0）、$e^{-x}$ 等衰减函数组合使用。

• ​Dirichlet 判别法 像是一个“波动压制器”：只要波动幅度有限$（f(x)$ 积分有界），且压制系数不断减小（$g(x)→0$），最终结果就会收敛。
• ​核心口诀：​一减一稳，积分收敛​（减：$g(x)→0$；稳：$f(x)$ 积分不爆炸）。

5. Abel判别法

• 条件：若：
  • $g(x)$ 单调有界；
  • $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 收敛。
• 结论：$\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x) dx$ 收敛。

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二、瑕积分（无界函数积分）的收敛性判别法

设 $\int_{a}^{b} f(x) dx$，且 $f(x)$ 在 $x = b$ 处无界（瑕点）。

1. 比较判别法

• 条件：
  • 若 $0 \leq f(x) \leq g(x)$，且 $\int_{a}^{b} g(x) dx$ 收敛，则 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 收敛。
  • 若 $f(x) \geq g(x) \geq 0$，且 $\int_{a}^{b} g(x) dx$ 发散，则 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 发散。

2. 极限比较判别法

• 条件：若 $\lim_{x \to b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = L$：
  • $0 < L < +\infty \Rightarrow$ 两积分同敛散；
  • $L = 0 \Rightarrow$ 若 $\int g(x) dx$ 收敛，则 $\int f(x) dx$ 收敛；
  • $L = +\infty \Rightarrow$ 若 $\int g(x) dx$ 发散，则 $\int f(x) dx$ 发散。
• 要点：
  • $g(x)$是自己构造的
    • $g(x)一般是\frac{1}{(b-x)^p}$
    • $g(x)$一般会翻上去写成通式的形式$$
      \lim_{x \to b^-} (b - x)^p \cdot f(x) = L \quad (L \neq 0 \text{ 且有限}),

      $$$$

    • $p < 1 \Rightarrow$ 积分收敛；
    • $p \geq 1 \Rightarrow$ 积分发散。

为什么p小于1积分收敛，大于等于1发散

就是很神奇，差了那一点点面积，g(x)在[0,1]下的面积就变成无穷了

• 例子:以积分 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}(x-1)} dx$ 为例：

1. 确定奇点位置
   被积函数在 $x=0$ 和 $x=1$ 处可能发散：
   • $x=0$：分母含 $\sqrt{x}$，判断敛散（因 $p=0.5 < 1$）。
   • $x=1$：分母含 $x-1$，需重点分析此处是否发散。
2. 构造极限（p的选择很重要，根据后边式子的阶数选择）
   • $x=0$：乘以$(x-a)^p$也就是$(x-0)^p$

     $$$$

     $$$$

$$\lim_{x \to 1^-} (1 - x)^1 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}(x-1)} = -1 \quad (\text{非零常数}).$$

	这表示被积函数与 $\frac{1}{1 - x}$ 在 $x \to 1^-$ 时 **同阶**。

3. 判断收敛性
   • 标准幂函数 $\int \frac{1}{1 - x} dx$ 在$x=0$处收敛，但是在 $x=1$ 处发散（因 $p=1 \geq 1$）。
   • 根据极限比较判别法，原积分 发散。

4. 注意事项

   1. 系数无关性：极限结果中的常数 $L$ 的正负和大小不影响结论，只需关注 $p$ 的值。 （求出的极限是一个负数，就当看不见负号，皇帝的负号）
   2. 多奇点处理：若积分区间内有多个奇点（如 $x=0$ 和 $x=1$），需分别分析每个奇点的收敛性，全部收敛时积分才收敛。
   3. 边界验证：当极限结果为 $0$ 或 $\infty$ 时，需换用其他方法（如直接比较法）。

3. Cauchy判别法（幂函数法）

• 条件：当 $x \to b^-$ 时，$f(x) \sim \frac{1}{(b - x)^p}$：
  • $p < 1 \Rightarrow$ 积分收敛；
  • $p \geq 1 \Rightarrow$ 积分发散。

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三、总结

判别法	适用场景	关键条件
比较判别法	被积函数与已知收敛/发散的积分比较	非负函数，大小关系明确
极限比较法	被积函数与幂函数或其他简单函数渐近等价	极限存在且非零
Cauchy判别法	被积函数在无穷或瑕点附近形如幂函数	幂次决定收敛性
Dirichlet法	含振荡函数（如 $\sin x$）的积分	一函数积分有界，另一函数单调趋于零
Abel判别法	被积函数为单调有界函数与收敛积分的乘积	单调有界 + 积分收敛

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四、应用要点

1. 先判断类型：区分无穷积分或瑕积分。
2. 简化被积函数：分析被积函数在积分区间端点的行为（如 $x \to +\infty$ 或趋近瑕点）。
3. 选择合适方法：
   • 若被积函数非负，优先用比较判别法或Cauchy判别法；
   • 若含振荡函数，考虑Dirichlet或Abel判别法。
4. 注意绝对收敛性：若 $|f(x)|$ 的积分收敛，则原积分绝对收敛。

Tips：如何记忆根据p判断收敛还是发散的技巧
首先要有一个共识：指数p越大，图像增长得越快
然后说无穷积分：$g(x)是\frac{1}{x^p}$，脑海中想象$\frac{1}{x}$的图像，p越大他变化的越快（下沉的越快），和x轴围成的面积越小，积分就收敛
then come with 瑕积分：$g(x)是\frac{1}{(b-x)^p}$，还是想象$\frac{1}{x}$的图像，因为有个负号，所以图像左右反转了，然后还有个b，把翻转过去捅向y轴正无穷的图像拉到第一象限了，p越大他变化的越快（上升的越快），和x轴围成的面积变大，积分发散