积分上限函数如何求导

情况	求导公式
上限是$x$	$F'(x) = f(x)$
上限是$u(x)$	$F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)$
下限是$v(x)$	$F'(x) = -f(v(x)) \cdot v'(x)$
上下限都是$x$的函数	$F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x)$
被积函数含$x$	$F'(x) = f(x, x) + \int_{a}^{x} \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} dt$
总结一下就是：

• 积分上限函数和积分下限函数一样；
• 先把上线函数代入，然后对上线求导；
• 上下线都有x，那就从0点拆开，然后把下限变上限，如下图

$$\Phi(x) = \int_{e^x}^{0} \sqrt{1 - t^2} dt + \int_{0}^{x^3} \sqrt{1 - t^2} dt = -\int_{0}^{e^x} \sqrt{1 - t^2} dt + \int_{0}^{x^3} \sqrt{1 - t^2} dt$$

$$\Phi'(x) = 3x^2 \sqrt{1 - x^6} - e^x \sqrt{1 - e^{2x}}$$

不对不对，这样就慢了，不用拆开，按公式来直接得到结果

• 下线的常数是多少好像不影响，该按这个套路来就按这个套路来
• 最后一种情况被积函数求偏导我还没学，先不管它