对于加减无穷小替换的理解

对于无穷小替换第一个注意事项的举例说明

回顾：

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题目

第一道题：

第二道题：
在极限计算中，加减法能否使用等价无穷小替换取决于替换后的主部是否被抵消以及误差项是否会影响结果。以下是两张图片的对比分析：

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第一道题允许替换的原因

1. 主部未被抵消

   • 分子：$\arcsin 2x^2 + e^{ax^2} - 1$
     • $\arcsin 2x^2 \sim 2x^2$，$e^{ax^2} - 1 \sim ax^2$
     • 替换后分子为 $2x^2 + ax^2 = (2 + a)x^2$，分母也是精确到$x^2$，主部未抵消。
   • 分母：$\ln(1 + 2x^2) \sim 2x^2$
   • 分子和分母主部均为同阶项（$x^2$），替换后极限化简为 $\frac{2 + a}{2}$。

2. 误差项为高阶无穷小

   • 例如，$\arcsin 2x^2 - 2x^2 \sim O(x^6)$，$e^{ax^2} -1 - ax^2 \sim O(x^4)$，误差远小于分母 $2x^2$，可忽略。

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第二道题无法直接替换的原因

1. 主部相消导致失效

   • 分子：$\tan 2x + x f(x)$
     • 若直接替换 $\tan 2x \sim 2x$，则分子变为 $2x + x f(x)$。
     • 原极限为 $\lim_{x \to 0} \frac{2x + x f(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{2 + f(x)}{x^2}$，但分母为 $x^3$，此时分子主部为低阶项（$x$），导致极限发散。
     • 实际需要展开高阶项：$\tan 2x = 2x + \frac{8}{3}x^3 + o(x^3)$，因此 $\tan 2x - 2x \sim \frac{8}{3}x^3$，不能直接忽略高阶项。

2. 错误拆分极限

   • 将原式拆分为两部分：
     $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x^3} + \lim_{x \to 0} \frac{x f(x)}{x^3}$
     • 第一部分 $\tan 2x$ 的展开不准确（应保留 $\frac{8}{3}x^3$），直接相减导致主部错误抵消。
     • 第二部分 $\frac{x f(x)}{x^3}$ 的极限可能不存在（若 $f(x)$ 不含 $x^{-1}$ 项）。

3. 正确处理方法

   • 使用泰勒展开保留足够高阶项：

     $$\tan 2x = 2x + \frac{8}{3}x^3 + o(x^3), \quad \text{代入分子得：} \quad 2x + \frac{8}{3}x^3 + x f(x) + o(x^3)$$

   • 原极限变为：

     $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{8}{3}x^3 + x f(x)}{x^3} = \frac{8}{3} + \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = -2$$

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总结

• 第一张图片：替换后主部未抵消，误差可忽略，因此允许等价无穷小替换。
• 第二张图片：直接替换导致主部相消，必须展开高阶项（泰勒公式）才能正确计算，否则结果错误。

核心原则：在加减法中，若替换后主部抵消或分母阶数高于分子，需谨慎使用泰勒展开保留足够高阶项！

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再看一个例子

在加减法中使用等价无穷小替换时，需确保替换后的主部未被抵消且误差项为高阶无穷小。针对表达式 $\beta = e^x + e^{-2x} - 2$ 的替换过程，以下是详细分析：

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替换过程的合法性分析

1. 拆分表达式
   原式分解为两个独立的无穷小量：

   $$\beta = (e^x - 1) + (e^{-2x} - 1)$$

   • $e^x - 1$ 和 $e^{-2x} - 1$ 均为 $x \to 0$ 时的无穷小量。

2. 泰勒展开确定主部与误差项

   • $e^x - 1$ 的展开：

     $$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots \quad \sim \ x \quad (\text{主部为 x，误差为高阶项如 } x^2)$$

   • $e^{-2x} - 1$ 的展开：

     $$e^{-2x} - 1 = -2x + \frac{(2x)^2}{2} - \frac{(2x)^3}{6} + \cdots \quad \sim \ -2x \quad (\text{主部为 -2x，误差为高阶项如 } x^2)$$

3. 替换后的主部与误差

   • 替换后表达式为：

     $$\beta \sim x + (-2x) = -x$$

   • 误差分析：
     实际误差为：

     $$\beta = \left( x + \frac{x^2}{2} + \cdots \right) + \left( -2x + 2x^2 + \cdots \right) = -x + \frac{5x^2}{2} + \cdots$$

     主部为 $-x$，误差项为 $O(x^2)$，远小于主部（当 $x \to 0$ 时）。

4. 验证替换条件

   • 主部未完全抵消：替换后的主部 $-x$ 未被高阶项抵消，仍为表达式的主导部分。
   • 误差可忽略：误差项 $O(x^2)$ 在极限 $x \to 0$ 时趋于零，不影响最终结果。

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为何允许在加减法中替换？

1. 独立替换原则
   每个无穷小量（如 $e^x - 1$ 和 $e^{-2x} - 1$）被单独替换，且替换后的主部在相加时未被抵消。

   • 若替换后主部相消（例如 $x - x = 0$），则需保留更高阶项。

2. 误差项的阶数足够高

   • 误差项为 $O(x^2)$，远小于主部 $O(x)$，因此在极限 $x \to 0$ 时可忽略。

3. 实际应用场景

   • 若 $\beta$ 作为分子，分母为 $x$ 的同阶或高阶项（如 $x^2$），则主部 $-x$ 主导极限值，误差不影响结果。
   • 例如：

     $$\lim_{x \to 0} \frac{\beta}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x + O(x^2)}{x} = -1$$

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对比不允许替换的情况

若表达式的主部因替换而抵消，则必须展开更高阶项。例如：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \quad \text{（错误替换：} \sin x \sim x \Rightarrow x - x = 0 \text{）}$$

实际需展开到 $x^3$ 项：

$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots \quad \Rightarrow \quad \sin x - x \sim -\frac{x^3}{6} \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6}}{x^3} = -\frac{1}{6}$$

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结论

在 $\beta = e^x + e^{-2x} - 2$ 中，允许加减无穷小替换的原因是：

1. 每个无穷小量的替换主部独立且未被抵消；
2. 替换后的误差项为高阶无穷小，可忽略；
3. 主部 $-x$ 主导极限行为，误差不影响结果。

核心原则：在加减法中，若替换后主部保留且误差项不影响极限值，则替换合法！