三角函数的全称和读音
  1. sin⁡x\sin x
    • 英文名称：Sine
    • 英文读音：/saɪn/（“赛因”）
    • 注：名称源于拉丁语 sinus（弯曲、海湾），中文“正弦”取自“正对的弦”。
  2. cos⁡x\cos x
    • 英文名称：Cosine
    • 英文读音：/ˈkoʊsaɪn/（“扣赛因”）
    • 注：余弦是“余角的正弦”，即 cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)。
  3. tan⁡x\tan x
    • 英文名称：Tangent
    • 英文读音：/ˈtændʒənt/（“坦真特”）
    • 注：名称源于拉丁语 tangere（接触），中文“切”指圆上切线。
  4. cot⁡x\cot x
    • 英文名称：Cotangent
    • 英文读音：/koʊˈtændʒənt/（“扣坦真特”）
    • 注：余切是“余角的正切”，即 cot⁡x=tan⁡(π2−x)\cot x = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right)。
  5. sec⁡x\sec x
    • 英文名称：Secant
    • 英文读音：/ˈsiːkənt/（“西肯特”）
    • 注：名称源于拉丁语 secare（切割），中文“割”指圆的割线。
  6. csc⁡x\csc x
    • 英文名称：Cosecant
    • 英文读音：/koʊˈsiːkənt/（“扣西肯特”）
    • 注：余割是“余角的正割”，即 csc⁡x=sec⁡(π2−x)\csc x = \sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right)。

总结规律：

  • 英文名称：大部分以“-sine”、“-tangent”、“-secant”为基础，前缀“co-”表示“余角”。

三角函数变换的相关公式

  1. 诱导公式

    • sin⁡(2kπ+α)=sin⁡α\sin(2k\pi + \alpha) = \sin \alpha
    • cos⁡(2kπ+α)=cos⁡α\cos(2k\pi + \alpha) = \cos \alpha
    • tan⁡(2kπ+α)=tan⁡α\tan(2k\pi + \alpha) = \tan \alpha
    • sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha
    • cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha
    • tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha
    • sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin \alpha
    • cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos \alpha
    • tan⁡(−α)=−tan⁡α\tan(-\alpha) = -\tan \alpha
    • sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha
    • cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha
    • tan⁡(π−α)=−tan⁡α\tan(\pi - \alpha) = -\tan \alpha

  2. 和差公式

    • sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta
    • cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta
    • tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}

  3. 倍角公式

    • sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
    • cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha
    • tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}

  4. 半角公式

    • sin⁡α2=±1−cos⁡α2\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}
    • cos⁡α2=±1+cos⁡α2\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}
    • tan⁡α2=±1−cos⁡α1+cos⁡α=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}

  5. 积化和差公式

    • sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]
    • cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)]
    • cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]
    • sin⁡αsin⁡β=−12[cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)]\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)]

  6. 和差化积公式

    • sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)
    • sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)
    • cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)
    • cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)

数列求和公式

  1. 等差数列求和公式

    • 通项公式：an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1)d
    • 前 nn 项和：Sn=n(a1+an)2=na1+n(n−1)2dS_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = n a_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d

  2. 等比数列求和公式

    • 通项公式：an=a1qn−1a_n = a_1 q^{n - 1}
    • 前 nn 项和：Sn=a1(1−qn)1−qS_n = \frac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q}（q≠1q \neq 1）

  3. 特殊数列求和公式

    • 1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}
    • 12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
    • 13+23+33+⋯+n3=(n(n+1)2)21^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2