常用的无穷小等价代换

无穷小等价代换是求极限时常用的方法，特别是在$x \to 0$的情况下。以下是一些常见的无穷小等价代换公式：

1. 当 $x \to 0$ 时：

   • $\sin x \sim x$
   • $\tan x \sim x$
   • $\arcsin x \sim x$
   • $\arctan x \sim x$
   • $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$
   • $e^x - 1 \sim x$
   • $\ln(1 + x) \sim x$
   • $(1 + x)^a - 1 \sim a x$（$a$ 为常数）
   • $a^x - 1 \sim x \ln a$（$a > 0$）
   • $\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a}$（$a > 0$）
   • $\tan x - \sin x \sim \frac{x^3}{2}$
   • $\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{n} x$

2. 其他形式的等价代换：

   • 当 $x \to 0$ 时，$\sin x - x \sim -\frac{x^3}{6}$
   • 当 $x \to 0$ 时，$\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}$
   • 当 $x \to 0$ 时，$\arcsin x - x \sim \frac{x^3}{6}$
   • 当 $x \to 0$ 时，$\arctan x - x \sim -\frac{x^3}{3}$

使用注意事项

• 等价无穷小代换通常用于乘除运算，不能直接用于加减运算。

不绝对，我感觉这个总结不是太正确或者说不是太精确，再没有学泰勒的时候可以这样说，学完之后这句话就是一刀切的总结，只要精度足够，加减也可以进行无穷小替换，当然不是上述的无穷小替换公式，上述无穷小替换公式就保留了第一项，太粗糙了，对于这个问题的详细讨论，请进入传送门

• 代换时需确保被代换的量在极限过程中趋于0。
• 在加减运算中，若需使用等价代换，需先对表达式进行变形，转化为乘除形式。