向量代数与空间解析几何习题总结

type one：给一条直线求绕轴旋转的曲面方程

直线 $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z}{1}$ 绕 $z$ 轴旋转而成的曲面为______.

这一道题有点迷啊
以下讨论是在M和$M_{0}$在z坐标相同的那一个圆中进行的
设M：（x，y，z）是曲面上的任意一点，$M_{0}：(x_{0},y_{0},z)$是直线上的一点
原点设为R:(0,0,z)
可以得到这个关系：$|MR|=|MM_{0}|$，然后把$x_{0},y_{0}$用z来代替就得出结果了
不过还是好奇怪，就是理不清思路
搁置吧

type two：求点到直线的距离（这个重要）

点 $M(2, 1, 1)$ 到直线 $L: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z}{-1}$ 之间的距离为______.

$M_{0}:(1,1,0)$是直线上的一个点
然后根据一个公式：由 $|\vec{M_0M} \times \mathbf{s}| = |\mathbf{s}| \cdot d$ 得距离为 $d = \sqrt{2}$

$|\vec{M_0M} \times \mathbf{s}|$是叉乘的几何意义，数值是平行四边形的面积，$|\mathbf{s}| \cdot d$是底乘高也是面积

type three：求两个平面之间的距离

平面 $\pi_1: x - 2y + 2z - 2 = 0$ 与平面 $\pi_2: x - 2y + 2z + 4 = 0$ 之间的距离为____ 。
直接套公式:$d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}},D_1,D_2$是两个方程上的常数项（看来还要弄一个系列总结一下这一章的公式）

type four：求两个直线之间的距离

设 $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{-1}$，$L_2: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z - 1}{1}$，判断两直线是否为异面直线；若是，求两条直线之间的距离。

1. 先根据这两个直线的方向向量判断是否平行（肯定不平行）
2. 然后除了这两个方向向量再找一个向量，$L_1$上找一个点P，$L_2$上找一个点Q，两个点连起来得到第三个向量
3. 然后做这三个向量的混合积，混合积不为零，说明两个直线异面
   然后求两个直线之间的距离
4. 求出过点P与$L_2$平行的直线$L_3$，可以求出来，这两个直线所在平面的方程
5. $L_2$上的点Q到这个平面的距离就是两个直线之间的距离
   （点到平面之间的距离公式：$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$）

混合积的作用：数量三重积（或称混合积）正是用来判断三个向量是否共面的工具。三个向量 $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ 的混合积定义为 $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}$。它的几何意义是由这三个向量为邻边所围成的平行六面体的有向体积。如果三个向量共面，则它们的混合积为零；如果三个向量共面，则平行六面体的体积为零。反之，如果混合积不为零，则体积不为零，三个向量不共面。
我再解释一点，为什么混合积是一个叉乘一个点乘，叉乘的数值是六面体的底面积，点乘展开看就是$|\mathbf{w}|\cos θ$投影到叉乘那个向量上刚好是高

type five：求关于平面的对称点

点 $M(1, -1, 2)$ 关于平面 $x + y - 2z - 8 = 0$ 的对称点为 ____。

1. 把平面的法向量当作直线的方向向量，求出过M的直线
2. 把直线化作参数方程，带入好求出直线与平面的交点
3. 这个交点就是所求点与M的中点

type six：平面束问题

直线 $L: \begin{cases} 2x - y + 2 = 0, \\ x + y - z - 1 = 0 \end{cases}$ 在平面 $\pi_0: x + y + z - 4 = 0$ 上投影直线的—般式为 ____。

构成直线L的两个方程，第一个方程+$\lambda \cdot$第二个方程得出一个活动的方程
这个活动的方程表示的就是转着直线L绕圈的平面
让这个绕圈的平面的法向量和平面$\pi_0$的法向量垂直，就确定出了构成这个投影直线的两个平面，联立两个方程就是投影直线的一般式

完结撒花🌷