二重积分、三重积分、重积分应用

二重积分的计算法

直角坐标

以这道题说明方法
先对Y积分，因为Y的范围一下就看出来了，而且对X的范围用y表示的时候也比较方便
$\int_{-1}^{2}dy\int_{y^2}^{y+2}dx$
也可以换一下积分顺序，但是比较麻烦

有的原函数不能用初等函数表示，所以积分顺序是唯一的，弄错了就积不出来

利用对称性和奇偶性简化计算

积分区域关于x轴对称时，被积函数是关于y的奇函数可以抵消，偶函数翻倍
关于y轴对称时也一样
以$a(x,y)=2 x^2 y$的图像进行说明，不想死记公式，公式记多不仅痛苦还容易忘

积分区域关于x轴对称，关于y的奇函数，一半体积向上，一半向下，抵消了

极坐标

对x和y的积分变成了对θ和ρ的积分
判断θ的范围：以x轴的正方向为标准，从0开始，$\frac{π}{2}$到y轴的正方向，$-\frac{π}{2}$到y轴的负方向，看转多少范围可以把积分区域包起来，范围就是多少，转一圈才能把积分区域包起来的话，那就是0 ~ 2π
判断ρ的范围：如果积分区域是一个以原点为中心的圆，那ρ的范围就是0 ~ ρ，如果积分区域是一个与坐标轴相切的圆，那ρ的范围就是0 ~ 直径乘上cos θ或者sin θ

用极坐标积分的时候，$dρ$前边一定要加一个ρ！！！，写成$ρdρ$，好烦，又是一个死记的小东西

三重积分的计算法

超级可恶的知识点，积分区域还得考想象

直角坐标

投影法
看情况把积分区域投影到坐标轴的平面
举个例子：积分区域为$z=x^2+y^2,y=x^2,y=1,z=0$
我感觉积分区域贴着哪个平面就把这个投影都哪个平面
画出x，y的坐标轴，然后以这个坐标轴为地基想象那个图形
看xoy平面的投影，x的范围是[-1,1],y的范围从左边$x^2$开始到y=1结束，$[x^2,1]$,z的区域是从下平面到上平面，$[0,x^2+y^2]$
截面法
找出来一个和坐标轴围成的那三个平面平行的一个截面，然后对垂直那个平面的坐标轴的参数积分，我去，天呐，我在乌拉什么，希望明天我能看懂
算了，放一个题叭

其实就是算一个截面的面积，然后对最后一个参数积分

对称性和奇偶性

关于xoy平面对称时，被积函数是关于z的奇函数，积分相消，偶函数翻倍
我好想找到文字规律了，但是我还是不理解为啥，不像一元函数积分那样直观，画个图就能看见
关于y对称，那就看被积函数的x
关于xoy对称，那就看被积函数的z
有你没我，有我没你定理

柱面坐标

柱面坐标像是极坐标和直角坐标的结合，底面用极坐标表示，就一个z轴用直角坐标积分
$ρdρdθdz$
θ的取值范围还是用一个能够包住底面图形的范围表示
ρ的取值在以原点为圆心的底面时范围在0~腰围最大的那一圈在底面投影的长度
圆心不在原点的话，范围还跟极坐标那个一样
z的取值范围，从下底面到顶面，还是用ρ表示的

球面坐标

这个用r来代替ρ了，r sin φ等于投影到底面的长度
这个长度乘以cos θ是x，乘以sin θ是y
z就是直接r cos φ

重积分的应用

😭终于到最后了

曲面的面积

看不懂，一点点都看不懂，直接记公式叭
求$z_x,z_y$,然后带入公式$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$
贴一道题

其实弄到还是看着底面投影进行积分，好难

质心

先求出来薄片的面积，然后对x和y进行积分($\iint\limits_{D}xd \sigma,\iint\limits_{D}yd \sigma$)，如果题上给密度u(x,y)了，那就把密度函数也放到这俩被积函数里边
求出来的这两积分，分别除以面积就是质心的横纵坐标

转动惯量

直接上公式，如果是只有x，y的坐标轴，那就把z给去了，其他都一样

$$\begin{align*} I_{x} &= \iiint_{\Omega} (y^{2} + z^{2}) \mu(x,y,z) \, \mathrm{d}v, & I_{y} &= \iiint_{\Omega} (z^{2} + x^{2}) \mu(x,y,z) \, \mathrm{d}v \\\\ I_{z} &= \iiint_{\Omega} (x^{2} + y^{2}) \mu(x,y,z) \, \mathrm{d}v, & I_{o} &= \iiint_{\Omega} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \mu(x,y,z) \, \mathrm{d}v \end{align*}$$