为什么特解的差是齐次方程的解

对于 线性非齐次微分方程：

$y' + a(x)y = b(x) \quad \text{（非齐次方程）}$

若已知两个特解 $y_1$ 和 $y_2$ ，则它们的差 $y_0 = y_2 - y_1$ 必为对应的 齐次方程：

$y' + a(x)y = 0 \quad \text{（齐次方程）}$

的解。

• 代入 $y_1$ 和 $y_2$ 到非齐次方程：

$\begin{cases} y_1' + a(x)y_1 = b(x) \\ y_2' + a(x)y_2 = b(x) \end{cases}$

• 将两式相减：

$(y_2' - y_1') + a(x)(y_2 - y_1) = b(x) - b(x) = 0$

• 即：

$\frac{d}{dx}(y_2 - y_1) + a(x)(y_2 - y_1) = 0$

这说明 $y_0 = y_2 - y_1$ 满足齐次方程。

• 非齐次方程的特解：描述了方程在特定外力 $b(x)$ 下的行为。
• 齐次方程的解：描述了系统本身的固有性质（与外力无关）。
• 差的意义：两个特解之间的差异仅由系统本身的性质决定，因此必须满足齐次方程。

特解的差消去了非齐次项 $b(x)$ ，仅保留系统内在的齐次特性。这是线性微分方程的核心性质之一，体现了 叠加原理 在解结构中的应用。