微分方程习题总结

type one：几何关系列出等式解方程

第一道：

第二道：

对于第二题，思路大概是这个思路，但是有一点别扭的就是字母的表示，可以把P点的坐标设为(a,b),其他字母还沿用以前的习惯
这种类型不难，关键在于吃透题目想要表达的等式是啥

type two：整体代换解方程

关键在于令 $u=\frac{y}{x}$ ,只要想到这一步这种类型就好解了

type three：根据线性微分方程解的结构构造方程组解未知数

第一个式子 $p - q = 0$
令：

$py_1 - qy_2 = k(y_1 - y_2) \quad (\text{其中 } k \text{ 为常数}),$

则需满足系数关系：

$p = k, \quad -q = -k \quad \Rightarrow \quad p = q.$

第二个式子 $p + q = 1$
题目还要求 $py_1 + qy_2$ 是非齐次方程的解。由于 $y_1$ 和 $y_2$ 本身是非齐次方程的特解，它们的线性组合要成为非齐次方程的解，需满足：

$p \cdot Q(x) + q \cdot Q(x) = Q(x) \quad \Rightarrow \quad (p + q)Q(x) = Q(x).$

因 $Q(x) \neq 0$ ，故 $p + q = 1$ 。

直接来源于线性微分方程解的结构理论：
• 第一条方程 $p = q$ 来自齐次方程解的性质（即非齐次解之差为齐次解）；
• 第二条方程 $p + q = 1$ 来自非齐次解的线性组合需保留非齐次项 $Q(x)$ 。
详细解释
还有一道：

为什么这一个选择 $\frac{1}{2}$ 这个线性组合？
我感觉没啥技巧，还是知道了这个结论之后看着答案猜出来的

type four：解常系数线性非齐次微分方程

虽然知道解题步骤，但还是超级超级麻烦可容易弄错
肖佳乐你一定要记住符号的规律，不要随意替换
特征方程用r，先写出对应齐次方程通解的形式！！！然后看e右上角x的系数 $\lambda$ ，然后看 $\lambda$ 和几个r一样，有几个一样，那么k就是几
然后参数都出来了，就设特解，求导，带入计算
具体步骤传送门