解常系数线性非齐次微分方程步骤

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例题

解

第一步：写出特征方程求解

二阶导是平方，一阶导是一次方，一个单独的y就是常数项

$$r^2-r=0$$

解出来$r_1=0,r_2=1$
然后根据这个表写出通解

$$Y = C_1 + C_2 e^x$$

特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 的根	微分方程 $y'' + py' + qy = 0$ 的通解
​两个不等实根 $r_1 \neq r_2$	$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
​两个相等实根 $r_1 = r_2$	$y = (C_1 + C_2 x) e^{r_1 x}$
​共轭复根 $r_{1,2} = a \pm i\beta$	$y = e^{a x} \left[ C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right]$

第二步：先解决$(2x+1)e^x$,再解决$4x-1$

1. 看这一项的$e^x$,x前边的系数是1，所以$\lambda=1$
2. $\lambda和r_2一样$，和这个特征方程的解有一个相同，所以$k=1$
3. 参数都知道之后开始设特解，把这一项括号里边的系统替换为$a,b$

   $$y_1=x^k(ax+b)e^{\lambda x}=x(ax+b)e^x=(ax^2+bx)e^x$$

第三步：求导

1. 求出
   • $y_1' = e^x(ax^2 + (2a + b)x + b)$
   • $y_1'' = e^x(ax^2 + (4a + b)x + 2a + 2b)$

   切忌！！！，对好同类项，对后边的加减很有帮助，减少出错的几率

2. 代入方程 $y'' - y'$：

$$y_1'' - y_1' = e^x \left[ 2ax + (2a + b) \right]$$

3. 对比系数：
   • $x$ 项：$2a = 2$
   • 常数项：$2a + b = 1$
   • 联立解得：$a = 1$，$b = -1$

关键点：只需关注非零系数项，避免展开全部项。
4. 写出这个特解

$$y_1=(x^2-x)e^x$$

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后边的形式和这个一样

1. 没有$e^x$，所以x前边的系数是0，$\lambda=0$

2. $\lambda和r_1$一样，所以$k=1$

3. 设特解

   $$y_2=x^k(ax+b)e^{\lambda x}=x(ax+b)=ax^2+bx$$

4. 求导

5. 带入计算

6. 联立方程组

7. 写出特解

最后一步：相加

把通解（$Y$）、特解一($y_1$)、特解二($y_2$)相加就是最终结果

麻蛋，这么繁琐

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还有一种形式的这种方程，右边的项乘了一个$\cos \omega x或者\sin \omega x$
其实还是差不多，不同点就是
第一个是光把$\lambda和r_1,r_2$对比，这一个是把$\lambda+ \omega i和r_1,r_2$对比
如果$\lambda+ \omega i不等于r_1,r_2$，那么$k$等于0
如果$\lambda+ \omega i等于r_1,r_2$，那么$k$等于1
其他都一样
都一样繁琐🙁