麦克劳林公式是泰勒公式在 x=0x=0 处的特殊形式，用于将函数 f(x)f(x) 展开为幂级数。其一般形式为：

f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn(x)f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)

其中：

  • f(0)f(0) 是函数在 x=0x=0 处的值，
  • Rn(x)R_n(x) 是余项，通常表示为拉格朗日型余项：

    Rn(x)=f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}

    其中 θ\theta 是介于 00 和 11 之间的某个值。

以下是五个重要的麦克劳林公式及其展开式：

  1. 指数函数：

    ex=1+x+x22!+x33!+⋯=∑n=0∞xnn!e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

  2. 正弦函数：

    sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

  3. 余弦函数：

    cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}

  4. 自然对数函数（ln⁡(1+x)\ln(1+x)）：

    ln⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯=∑n=1∞(−1)n−1xnn(∣x∣<1)\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \quad (|x| < 1)

    对这个式子进行求导可以得到11+x\frac{1}{1+x}的公式

    11+x=1−x+x2−x3+⋯ \frac{1}{1+x}=1 - x + x^2 - x^3 + \cdots

  5. 几何级数：

    11−x=1+x+x2+x3+⋯=∑n=0∞xn(∣x∣<1)\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty x^n \quad (|x| < 1)